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设X为Banach空间，Y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。假设任取{xn}为X中序列使得xn→0且{F(xn)}为柯西列，则在Y中必有F(xn)→0。求证：F∈BL(X，Y)
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设X为赋范线性空间，X≠0。证明X完备的充要条件是单位球面S1={x∈x:‖x‖=1}完备。
设E是赋范线性空间，f是E上的非零有界线性泛函，则存在x0∈E使f(x0)≠0，
，这里α是实(或复)数，
是f的零空间。
设X是距离空间，F1，F2为X中不相交闭集。证明：存在X上的连续函数F(x)，使得当X∈F1时，f(x)=0；当x∈F2时，f(x)=1。
设无限大导体平板在xy平面内，电流均匀地沿+y方向流动，x方向上单位宽度内通过导体平板的电流为j，求导体板外空间磁场分布。
在闭区间[a，b]上所有全体实连续函数构成的线性空间C[a，b]，对任意f(x)，g(x)∈C[a，b]，证明二元实函数∫baf(x)g(x)dx为C[a，b]上的内积，从而C[a，b]为一个欧氏空间．
证明：
(1)设X是距离空间，
(2)距离空间中的闭集为可列个开集的交；
(3)距离空间中的开集为可列个闭集的并。
设{X(n)，n≥0}是一齐次马尔可夫链，状态空间E={0，1，2}，其一步转移概率矩阵为
它的初始状态的概率分布为pi（0）=P{X0=i}=1/3，i=0,1,2，
电荷面密度均为+σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(a)放置，其周围空间各点电场强度E(设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x变化的关系曲线(图(b))为( )。
